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홍동우켤레근, 근과 계수와의 관계, 그리고 포기하지 않고 풀어보는 능력을 확인할 수 있는 문제로 보여집니다!
요점부터 말씀 드리면, ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + c = 0 의 근을 (1), (2), (3), (4) 라고 가정 했을 때,
(1) + (2) + (3) + (4) = -b/a
(1)(2) + (1)(3) + (1)(4) + (2)(3) + (2)(4) + (3)(4) = c/a
(1)(2)(3) + (1)(2)(4) + (1)(3)(4) + (2)(3)(4) = -d/a
(1)(2)(3)(4) = d/a
가 됩니다.
자, 이 문제에서는 하나의 근이 (1-i)가 주어졌는데요, 가장 먼저 켤레근을 생각하셨어야 합니다!
켤레근이란 'm+n√n 이 근이면, m-n√n 또한 반드시 근이 된다.' 와 'm+ni 가 근이면, m-ni 또한 반드시 근이 된다.' 정도로만 알아 두시면 될 것 같아요!
이제 근과 계수와의 관계를 이용해 봅시다!
우선 주어진 근과 켤레근, 총 2개의 근을 알고 있습니다.
사차방정식이므로 위 방정식의 근을 (1-i), (1+i), α, β 라고 가정하면, 자연스럽게 S = (1+i) + α + β 임을 확인할 수 있습니다.
근과 계수와의 관계 : (1)(2) + (1)(3) + (1)(4) + (2)(3) + (2)(4) + (3)(4) = c/a 의 경우!!
(1-i)(1+i) + (1-i)α + (1-i)β + (1+i)α + (1+i)β + αβ = 5
==> 2 + (α-αi) + (β -βi) + (α + αi ) + (β + βi) + αβ = 5
==> 2 + 2(α+β) +αβ = 5
==> 2(α + β ) + αβ = 3
근과 계수와의 관계 : (1)(2)(3)(4) = c/a 의 경우!!
(1-i) * (1+i) * α * β = -30
==> αβ = -15
2(α + β ) + αβ = 3
αβ = -15
위 두 결과를 얻었습니다! 이제 이를 이용하여 α + β를 구해 보면,
그러므로,
α + β = 9, αβ = -15 의 2가지 결과값을 얻을 수 있어요!
잠깐 구해야하는 값을 살펴보면, (1-i) + S = -a ==> a + S = (-1+i) 이죠?
그러므로, 문제에서 구해야 하는 값 : a + S + b = (-1+i) + b 입니다.
결과적으로 b를 알아야 해요~
근과 계수와의 관계 : (1)(2)(3) + (1)(2)(4) + (1)(3)(4) + (2)(3)(4) = -d/a 의 경우!
α(1-i)(1+i) + β(1-i)(1+i) + αβ(1+i) + αβ(1-i) = -b
==> 2α + 2β + 2αβ = -b
==> 2(α+β) + 2αβ = -b
==> 2*9 + 2*(-15) = -12 = -b
그러므로 b = 12가 되네요!
앞서 확인해 본 문제에서 구해야 하는 값 : a + S + b = (-1+i) + b 이죠??
여기에 b=12를 대입해 보면!!!
a + S + b = 11+i, 그러므로 답은 4번이 되겠네요!
이까지 따라 오시느라 고생하셨어요! 제가 암산하면서 적은거라 계산 실수가 있을 수 있지만, 전반적인 결과는 정답과 일치할 거에요!
비록 귀찮으시겠지만 천천히 풀어보시면 도움 되실거에요!
혹여나 켤레근에 대한 개념에 낯설다면 관련 자료 찾아보시길 바랍니다.
열공하세요 형수친구~
요점부터 말씀 드리면, ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + c = 0 의 근을 (1), (2), (3), (4) 라고 가정 했을 때,
(1) + (2) + (3) + (4) = -b/a
(1)(2) + (1)(3) + (1)(4) + (2)(3) + (2)(4) + (3)(4) = c/a
(1)(2)(3) + (1)(2)(4) + (1)(3)(4) + (2)(3)(4) = -d/a
(1)(2)(3)(4) = d/a
가 됩니다.
자, 이 문제에서는 하나의 근이 (1-i)가 주어졌는데요, 가장 먼저 켤레근을 생각하셨어야 합니다!
켤레근이란 'm+n√n 이 근이면, m-n√n 또한 반드시 근이 된다.' 와 'm+ni 가 근이면, m-ni 또한 반드시 근이 된다.' 정도로만 알아 두시면 될 것 같아요!
이제 근과 계수와의 관계를 이용해 봅시다!
우선 주어진 근과 켤레근, 총 2개의 근을 알고 있습니다.
사차방정식이므로 위 방정식의 근을 (1-i), (1+i), α, β 라고 가정하면, 자연스럽게 S = (1+i) + α + β 임을 확인할 수 있습니다.
근과 계수와의 관계 : (1)(2) + (1)(3) + (1)(4) + (2)(3) + (2)(4) + (3)(4) = c/a 의 경우!!
(1-i)(1+i) + (1-i)α + (1-i)β + (1+i)α + (1+i)β + αβ = 5
==> 2 + (α-αi) + (β -βi) + (α + αi ) + (β + βi) + αβ = 5
==> 2 + 2(α+β) +αβ = 5
==> 2(α + β ) + αβ = 3
근과 계수와의 관계 : (1)(2)(3)(4) = c/a 의 경우!!
(1-i) * (1+i) * α * β = -30
==> αβ = -15
2(α + β ) + αβ = 3
αβ = -15
위 두 결과를 얻었습니다! 이제 이를 이용하여 α + β를 구해 보면,
그러므로,
α + β = 9, αβ = -15 의 2가지 결과값을 얻을 수 있어요!
잠깐 구해야하는 값을 살펴보면, (1-i) + S = -a ==> a + S = (-1+i) 이죠?
그러므로, 문제에서 구해야 하는 값 : a + S + b = (-1+i) + b 입니다.
결과적으로 b를 알아야 해요~
근과 계수와의 관계 : (1)(2)(3) + (1)(2)(4) + (1)(3)(4) + (2)(3)(4) = -d/a 의 경우!
α(1-i)(1+i) + β(1-i)(1+i) + αβ(1+i) + αβ(1-i) = -b
==> 2α + 2β + 2αβ = -b
==> 2(α+β) + 2αβ = -b
==> 2*9 + 2*(-15) = -12 = -b
그러므로 b = 12가 되네요!
앞서 확인해 본 문제에서 구해야 하는 값 : a + S + b = (-1+i) + b 이죠??
여기에 b=12를 대입해 보면!!!
a + S + b = 11+i, 그러므로 답은 4번이 되겠네요!
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비록 귀찮으시겠지만 천천히 풀어보시면 도움 되실거에요!
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건수딩정관장 굿베이스 ><
믿고먹을 정관장에 이민호까지 나오니 짱이에요!!!
페이스북 :://www.facebook.com/curipin/posts/776147642485378?pnref=story
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